Много много накратко - само някои не съвсем очевидни неща, които се използват често.

\begin{lemma}
Нека $f: A \rightarrow B$ е функция. Тогава $f$ е биекция точно когато
съществува $g: B \rightarrow A$, такава че $g \circ f = \mathrm{Id}_A$ и $f
\circ g = \mathrm{Id}_B$, където $\circ$ означава композиция.
\end{lemma}

\begin{definition}
Нека $\rho \subseteq A \times A$. Казваме, че $\rho$ e релация на
еквивалентност, ако е рефлексивна, симетрична и транзитивна релация.
\end{definition}


\begin{definition}
Нека $A \subseteq \pset(X)$, тоест $A$ е фамилия от подмножества на $X$.
Казваме, че:
\begin{itemize}
  \item $A$ е покритие на $X$, ако $\cup A = X$.
  \item $A$ е дизюнктна фамилия, ако $(\forall a, b \in A, a \neq b)(a \cap b = \emptyset)$.
  \item $A$ е разбиване на $X$, ако $A$ е дизюнктна фамилия, $A$ е покритие на
  $X$ и $\emptyset \notin A$.
\end{itemize}
\end{definition}

Ако $\rho$ е релация на еквивалентност в $X$ и $a \in X$, то клас на
еквивалентност на $a$ наричаме множеството $[a] \leftrightharpoons \set{b \in X
\st a \rho b}$. Оказва се, че класовете на еквивалентност на елементите на $X$
образуват едно разбиване $A_\rho$. Обратно, ако е дадено разбиване $A$ на
$X$, можем да дефинираме релация на еквивалентност като положим два елемента да
са в релация $\rho_A$ точно когато са в един и същ елемент на $A$. Така
дефинираното съответствие между разбиванията и релациите на еквивалентност в
едно множество е биективно.