\begin{definition}
Нека $\rho \subseteq A \times A$. Казваме, че $\rho$ e:
\begin{itemize}
  \item Преднаредба, ако е рефлексивна и транзитивна.
  \item Частична наредба, ако e преднаредба и е антисиметрична.
  \item Линейна наредба, ако е частична наредба и всеки два елемента на $A$ са
  сравними: $(\forall a,b \in A)(a \rho b \lor b \rho a)$.
  \item Строга наредба, ако е ирефлексивна и транзитивна.
  \item Релация на еквивалентност, ако е рефлексивна, симетрична и транзитивна.
\end{itemize}
Двойките $(A, \rho)$ наричаме преднаредени, частично наредени или линейно
наредени множества.
\end{definition}


\begin{definition}
Нека $(A, \le)$ е преднаредено множество, $B \subseteq A$ и $m \in A$. Казваме,
че: 
\begin{itemize}
  \item $m$ е максимален елемент на $(A, \le)$, ако $(\forall a \in A)(m \le a
  \Rightarrow a \le m)$
  \item $m$ е мажоранта на $B$, ако $(\forall b \in B)(b \le m)$.
  \item $m$ е миноранта на $B$, ако $(\forall b \in B)(m \le b)$.
  \item $B$ е верига в $(A, \le)$, ако всеки два елемента на $B$ са сравними.
\end{itemize}
\end{definition}


\begin{definition}
Нека $(A, \le)$ е частично наредено множество (ч.н.м.), $B \subseteq A$ и $m
\in A$. Казваме, че:
\begin{itemize}
  \item $m$ е най-голям елемент на $A$, ако $(\forall a \in A)(a \le m)$.
  \item $m$ е най-малък елемент на $A$, ако $(\forall a \in A)(m \le a)$.
  \item $m$ е супремум на $B$, ако $m$ е най-малката мажоранта на $B$.
  Означаваме $\mathrm{sup}B = m$.
  \item $m$ е инфимум на $B$, ако $m$ е най-голямата миноранта на $B$.
  Означаваме $\mathrm{inf}B = m$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}
Едно ч.н.м. $(A, \rho)$ се нарича добре наредено множество, ако всяко непразно
подмножество на $A$ има най-малък елемент.
\end{definition}

\paragraph{Аксиома за избора (AC):}
Нека $\Acal$ е дизюнктна фамилия от непразни множества ($\Acal$ е
разбиване). Тогава съществува множество $S$ със свойството:
$$(\forall A \in \Acal)(\exists y)(S \cap A = \set{y})$$

Тоест, ако $\Acal$ е разбиване, можем да "`изберем"' по един елемент от
всеки негов елемент. Аксиомата за избора е независима от останалите аксиоми на
ZF.

\begin{theoremz}
Следните условия са еквивалентни:
\begin{enumerate}
  \item AC (аксиомата за избора)
  \item Теорема на Цермело: всяко множество може да бъде добре наредено
  \item LZ (лема на Куратовски-Цорн): ако $(A, \le)$ е преднаредено множество и
  всяка верига в $(A, \le)$ има мажоранта, то $(A, \le)$ има поне един
  максимален елемент.
\end{enumerate}
\end{theoremz}