%%%%%%%%%% \begin{definition} Нека $X$ е множество и $\tau \subseteq \pset(X)$. $\tau$ се нарича топология в $X$, ако удовлетворява следните аксиоми: \begin{itemize} \item{(O1)} $\emptyset \in \tau, X \in \tau$ \item{(O2)} Ако $U_1, U_2 \in \tau$, то $U_1 \cap U_2 \in \tau$\\ ($\tau$ е затворено относно крайно сечение) \item{(O3)} Ако $\tau' \subseteq \tau$, то $\cup \tau' \in \tau$\\ ($\tau$ е затворено относно произволно обединение) \end{itemize} \end{definition} \begin{definition} Нека $X$ е множество и $\tau$ е топология в $X$. Двойката $(X, \tau)$ наричаме топологично пространство (т.п.). Елементите на $X$ наричаме точки. Елементите на $\tau$ наричаме отворени множества. \end{definition} \begin{definition} Нека $(X, \tau)$ е топологично пространство и $x \in X$. Казваме, че $U$ е околност на $x$ ако $U \in \tau$ и $x \in U$. \end{definition} \paragraph*{Примери:} \begin{enumerate} \item Нека $X$ е произволно множество. Тогава $(X, \pset(X))$ е топологично пространство. Наричаме го дискретно пространство. \item Нека $X$ е произволно множество. Тогава $(X, \set{\emptyset, X})$ е топологично пространство. Наричаме го антидискретно пространство. \item Нека $n \in \Nbb^{+}$. Дефинираме естествената топология $\tau_{\text{ест}}$ в $\Rbb^n$ така: Едно множество $U \subseteq \Rbb^n$ е отворено, ако за всяко $x \in U$ съществува кълбо с център $x$, което се съдържа в $U$. По-надолу има точна дефиниция. \item Нека $X = \set{0,1}$, $\tau = \set{ \emptyset, X, \set{1}}$. Наричаме $(X, \tau)$ пространство на Серпински. \end{enumerate} %%%%%%%%%% %%%%%%%%%% \begin{tvyr} Нека $(X, \tau)$ е топологично пространство и $U \subseteq X$. Тогава $U \in \tau$ ($U$ е отворено) т.с.т.к. за всяка точка $x \in U$ съществува околност $V$ на $x$, такава че $V \subseteq U$. \end{tvyr} %%% $\rightarrow)$ Нека $U$ е отворено. Тогава самото $U$ изпълнява исканите условия. $\leftarrow)$ Нека $U \subseteq X$ и е изпълнено условието от твърдението. Тоест,\\ $(\forall x \in U)(\exists V_x \in \tau)(x \in V_x \subseteq U)$. Тогава $U = \underset{x\in U}{\bigcup} V_x$, където всяко $V_x$ е от $\tau$. От (O3) получаваме $U \in \tau$. \qed %%% \begin{definition} Едно топологично пространство $(X, \tau)$ се нарича\\ Александровско, ако е затворено относно произволно сечение. Тоест ако е в сила: $$(\forall \tau' \subseteq \tau)(\cap \tau' \in \tau)$$ \end{definition} Ако $X$ е крайно множество, то всяко топологично пространство $(X, \tau)$ е Александровско, защото тогава $\tau$ също е крайно (и можем да приложим (О2) краен брой пъти). В общия случай това не е в сила, но има и безкрайни Александровски пристранства. \begin{definition} Нека $(X, \le)$ е частично наредено множество (ч.н.м.), нека $x \in X$ и $A \subseteq X$. Въвеждаме следните означения\footnote{На лекции използвахме единични стрелки за двете означения, но тук използвам двойна в единия случай за да избегна обърквания}:\\ \begin{align*} \cuparrow x & \leftrightharpoons \set{y \in X \st x \le y}\\ \cdownarrow x & \leftrightharpoons \set{y \in X \st y \le x}\\ \cUparrow A & \leftrightharpoons \underset{a \in A}{\bigcup} \cuparrow a\\ \cDownarrow A & \leftrightharpoons \underset{a \in A}{\bigcup} \cdownarrow a \end{align*} Множествата $\cuparrow x$ и $\cdownarrow x$ наричаме съответно горен и долен конус на $x$. \end{definition} \begin{definition} Нека $(X, \le)$ е ч.н.м и $M \subseteq X$. Казваме, че $M$ е: \begin{itemize} \item Дясно, ако: $(\forall x \in M)(\cuparrow x \subseteq M)$ \item Ляво, ако: $(\forall x \in M)(\cdownarrow x \subseteq M)$ \end{itemize} \end{definition} \begin{tvyr} Нека $(X, \le)$ е ч.н.м. и $A \subseteq X$. Тогава $A$ е дясно т.с.т.к. $A = \cUparrow A$. \end{tvyr} %%% $\rightarrow)$ Нека $A$ е дясно. Тогава $(\forall x \in A)(\cuparrow x \in A)$, тоест $\cUparrow A \subseteq A$. Но, за всяко $a \in A$ имаме $a \in \cuparrow a$, следователно $A \subseteq \cUparrow A$. Следователно $A = \cUparrow A$. $\leftarrow)$ Нека $A = \cUparrow A$, тоест $A = \underset{a \in A}{\bigcup} \cuparrow a$. Нека $a \in A$ е произволно. Тогава $\cuparrow a \subseteq A$, следователно $A$ е дясно.\qed Аналогично се вижда, че $A$ е ляво т.с.т.к. $A = \cDownarrow A$. %%% \begin{definition} Нека $P=(X, \le)$ е ч.н.м. Означаваме фамилията от всички десни подмножества на $X$ с $\Rcal(P)$ (а тази от левите --- с $\Lcal(P)$): $$\Rcal(P) \leftrightharpoons \set{A \subseteq X \st A = \cUparrow A}$$ $$\Lcal(P) \leftrightharpoons \set{A \subseteq X \st A = \cDownarrow A}$$ \end{definition} \begin{tvyr} Нека $P=(X, \le)$ е ч.н.м. Тогава $(X, \Rcal(P))$ и $(X, \Lcal(P))$ са Александровски простванства. \end{tvyr} %%% Ще проверим аксиоми (О1) и (О3) и условието от дефиницията за алек\-сан\-дров\-ско пространство за десните множества. Аксиома (О2) следва от това условие, доказателството за левите множества е аналогично. \begin{itemize} \item{(О1)} $\emptyset$ и $X$ очевидно са десни ($\emptyset = \cUparrow \emptyset$, $X = \cUparrow X$). \item{(О2')} Нека $U = \set{U_\alpha \st \alpha \in A}$ е произволна подфамилия на $R(X)$. Нека $x \in \cap U$ е произволно. За всяко $\alpha \in A$ имаме, че $U_\alpha$ е дясно и $x \in U_\alpha$, следователно $\cuparrow x \subseteq U_\alpha$. Тогава $\cuparrow x \subseteq \cap U$, но $x$ е произволно, следователно $\cap U$ е дясно. \item{(O3)} Нека $U = \set{U_\alpha \st \alpha \in A}$ е произволна подфамилия на $R(X)$. Нека $x \in \cup U е произволно$. Тогава $(\exists \alpha \in A)(x \in U_\alpha)$. Нека $\alpha$ има това свойство. Тогава $\cuparrow x \subseteq U_\alpha$, защото $U_\alpha$ е дясно. Но $U_\alpha \subseteq \cup U$, следователно $\cuparrow x \subseteq \cup U$, тоест $\cup U$ е дясно. \end{itemize} Следователно $(X, \Rcal(P))$ е Александровско пространство.\qed %%% \subsection*{} \begin{definition} Нека $P=(X, \le)$ е ч.н.м. и $\emptyset \neq D \subseteq X$. Казваме, че $D$ е насочено, ако $(\forall x,y \in D)(\exists z \in D)(x \le z, y \le z)$. \end{definition} \begin{definition} Нека $P=(X, \le)$ е ч.н.м. и $U \subseteq X$. Казваме, че $U$ е Скот-отворено, ако $U$ е дясно и е изпълнено:\\ Ако $D \subseteq X$ е насочено, $D$ има супремум и $\mathrm{sup}D \in U$, то $U \cap D \neq \emptyset$. Означаваме $$\Sigma(P) \leftrightharpoons \set{U \subseteq X \st U \text{ "`е Скот-отворено"'}}$$ \end{definition} \begin{tvyr} Ако $P=(X, \le)$ е ч.н.м., то $(X, \Sigma(P))$ е топологично про\-стран\-ство. \end{tvyr} %%% \begin{itemize} \item{(О1)} Нека $D \subseteq X$ е насочено ($D \neq \emptyset$). Тогава $X \cap D \neq \emptyset$, тоест $X$ е Скот-отворено. Празното множество също е Скот-отворено, защото не е възможно $\mathrm{sup}D \in \emptyset$. \item{(О2)} Нека $U$ и $V$ са Скот-отворени. Вече показахме, че сечение на десни множества е дясно. Нека $D \subseteq X$ е насочено и $\mathrm{sup}D \in U \cap V$. Тогава $U \cap D \neq \emptyset$ и $V \cap D \neq \emptyset$, защото $U$ и $V$ са Скот-отворени. Нека $x \in U \cap D$, $y \in V \cap D$. Тогава $x, y \in D$ и понеже $D$ е насочено $(\exists z \in D)(x \le z, y \le z)$. Тоест $z \in \cuparrow x$, $z \in \cuparrow y$. Но $\cuparrow x \subseteq U$ и $\cuparrow y \subseteq V$, защото $U$ и $V$ са десни, следователно $z \in U$ и $z \in V$. Тогава $z \in (U \cap V) \cap D$, тоест $U \cap V$ е Скот-отворено. \item{(О3)} Нека $\Ucal = \set{U_\alpha \st \alpha \in A} \subseteq \Sigma(P)$. Нека означим $U = \cup \Ucal$. Нека $D \subseteq X$ е насочено и съществува $\mathrm{sup}D \in U$. Тогава $(\exists \alpha \in A)(\mathrm{sup}D \in U_\alpha)$. Тогава, понеже $U_\alpha$ е Скот-отворено, имаме $U_\alpha \cap D \neq \emptyset$. Но $U_\alpha \subseteq U$, следователно $U \cap D \neq \emptyset$. Следователно $U = \cup \Ucal$ е Скот-отворено. \end{itemize} Следователно $(X, \Sigma(P))$ е топологично пространство. \qed %%% %%% \paragraph*{Пример:} Нека $X=\set{0,1}$ и нека вземем числовата наредба ($0 \le 1$).\\ Тогава $\pset(X) = \big\{\emptyset, \set{0}, \set{1}, \set{0,1}\big\}$. Имаме: $$\cUparrow \emptyset = \emptyset$$ $$\cUparrow \set{0} = \cuparrow 0 = \set{0,1} \neq \set{0}$$ $$\cUparrow \set{1} = \cuparrow 1 = \set{1}$$ $$\cUparrow \set{0,1} = \cuparrow 0 \cup \cuparrow 1 = \set{0,1} \cup \set{1} = \set{0,1}$$ Следователно десни са $\emptyset, \set{1}$ и $\set{0,1}$. Вече знаем, че $\emptyset$ и $\set{0,1}$ са Скот-отворени, да проверим за $\set{1}$. Нека $D \subseteq \set{0,1}$ е насочено и $\mathrm{sup}D \in \set{1}$. Тогава $\mathrm{sup}D = 1$, следователно $D = \set{1}$ или $\set{0,1}$. И в двата случая $D \cap \set{1} = \set{1} \neq \emptyset$, следователно $\set{1}$ е Скот-отворено. Така получаваме $$\Sigma((X, \le)) = \set{ \emptyset, \set{1}, \set{0,1}}$$ Топологията на Скот върху $\set{0,1}$ съвпада с топологията на Серпински. %%% \subsection*{} \begin{definition} Нека $(X, \tau)$ е топологично пространство, $M \subseteq X$ и $U \in \tau$. Множеството $U \cap M$ наричаме следа на $U$ в $M$. \end{definition} \begin{tvyr} Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $M \subseteq X$. Полагаме $${\tau /}_M \leftrightharpoons \set{U \cap M \st U \in \tau}$$ Тогава ${\tau /}_M$ е топология в $M$ (нарича се индуцирана топология в $\tau$ от $M$). Двойката $(M, {\tau /}_M)$ наричаме топологично подпространство на $(X, \tau)$ (?). \end{tvyr} %%% Очевидно ${\tau /}_M \subseteq \pset(M)$. Вижда се, че $Z \in {\tau /}_M$ точно когато $Z$ се представя във вида $U \cap M$ за някое $U \in \tau$. Ще проверим аксиомите. \begin{itemize} \item{(О1)} $\emptyset = \emptyset \cap M$, $M = X \cap M$ \item{(О2)} Нека $U \cap M, V \cap M \in {\tau /}_M$. Тогава $(U \cap M) \cap (V \cap M) = (U \cap V) \cap M$. Но $U \cap V \in \tau$ защото $\tau$ е топология, следователно $(U \cap V) \cap M \in {\tau /}_M$. \item{(О3)} Нека $\Ucal = \set{U_\alpha \cap M \st \alpha \in A} \subseteq {\tau /}_M$. Тогава $\cup \Ucal = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} (U_\alpha \cap M) = (\underset{\alpha \in A}{\bigcup} U_\alpha) \cap M$. Но $\underset{\alpha \in A}{\bigcup} U_\alpha \in \tau$, следователно $\cup \Ucal \in {\tau /}_M$. \end{itemize} Следователно $(M, {\tau /}_M)$ е топологично пространство. \qed %%% \begin{tvyr} Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $M \subseteq X$. Полагаме $\tau_M = \set{U \cup K \st U \in \tau, K \subseteq X \setminus M}$. Тогава $(X, \tau_M)$ е т.п. и $(X \setminus M, \tau_{{M/}_{(X \setminus M)}})$ е дис\-кре\-тно т.п. \end{tvyr} %%% \begin{itemize} \item{(O1)} $\emptyset = \emptyset \cup \emptyset \in \tau_M$ и $X = X \cup \emptyset \in \tau_M$ \item{(O2)} Нека $U \cup K, V \cup L \in \tau_M$. Тогава $$(U \cup K) \cap (V \cup L) = \underbrace{(U \cap V)}_{\in \tau} \cup \underbrace{\Big{(} (K \cap V) \cup (U \cap L) \cup (K \cap L) \Big{)}}_{\subseteq X \setminus M} \in \tau_M$$ \item{(O3)} Нека $U = \set{U_\alpha \cup K_\alpha \st \alpha \in A, U_\alpha \in \tau, K_\alpha \subseteq X \setminus M} \subseteq \tau_M$. Тогава $$\cup U = \underbrace{(\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha)}_{\in \tau} \cup \underbrace{(\bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha)}_{\subseteq X \setminus M} \in \tau_M$$ \end{itemize} Следователно $(X, \tau_M)$ е т.п. Да проверим, че $(X \setminus M, \tau_{{M/}_{(X \setminus M)}})$ е дис\-кре\-тно, тоест че $\tau_{{M/}_{(X \setminus M)}} = \pset(X \setminus M)$. Нека $K \subseteq X \setminus M$. Тогава $\emptyset \cup K \in \tau_M$ и можем да представим $K$ като $$K = \underbrace{(\emptyset \cup K)}_{\in \tau_M} \cap \underbrace{(X \setminus M)}_{\subseteq X \setminus M} \in \tau_{{M/}_{(X \setminus M)}}$$ Следователно $\pset(X \setminus M) \subseteq \tau_{{M/}_{(X \setminus M)}}$. Обратното включване е очевидно. %%% \subsection*{Упражниения:} В следващите параграфи $n$ е произволно фиксирано естествено число (без 0). Ако $x, y \in \Rbb^n$, означаваме с $\rho(x,y)$ разстоянието между $x$ и $y$. То отговаря на условията (за произволни $x, y, z$): \begin{enumerate} \item $\rho(x,y) \ge 0$ и $\rho(x, y)=0$ т.с.т.к. $x=y$ \item $\rho(x,y) = \rho(y,x)$ \item $\rho(x,y) \le \rho(x,z) + \rho(z,y)$ \end{enumerate} \begin{definition} Нека $x \in \Rbb^n$ и $\varepsilon \in \Rbb, \varepsilon > 0$. Кълбо с център $x$ и радиус $\varepsilon$ наричаме: $$B(x, \varepsilon) \leftrightharpoons \set{y \in \Rbb^n \st \rho(x,y) < \varepsilon}$$ \end{definition} \begin{definition} Нека $U \subseteq \Rbb^n$. Казваме, че $U$ е отворено\_\footnote{Отново различно означение, за да не става объркване с двете значения на "`отворено"'}, ако: $$(\forall x \in U)(\exists \varepsilon > 0)( B(x,\varepsilon) \subseteq U)$$ \end{definition} Полагаме $\tau \leftrightharpoons \set{U \subseteq \Rbb^n \st U \text{ "`е отворено\_"'}}$. Ще докажем, че $(\Rbb^n, \tau)$ е топологично пространство ($\tau$ - естествената топология). \begin{itemize} \item{(О1)} Очевидно $\emptyset$ и $\Rbb^n$ са отворени\_. \item{(О2)} Нека $U, V \in \tau$. Ако $U \cap V = \emptyset$, то $U \cap V \in \tau$. Иначе, нека $x \in U \cap V$. Тогава $(\exists \varepsilon_1>0)(B(x,\varepsilon_1) \subseteq U)$ и $(\exists \varepsilon_2 > 0)(B(x, \varepsilon_2) \subseteq V)$. Нека $\varepsilon = \mathrm{min}\set{\varepsilon_1, \varepsilon_2}$. Тогава $B(x,\varepsilon) \subseteq U \cap V$, тоест $U \cap V$ е отворено\_. \item{(О3)} Нека $\Ucal = \set{U_\alpha \in \tau \st \alpha \in A}$. Нека $U = \cup \Ucal$. Нека $x \in U$. Тогава $(\exists \alpha \in A)(x \in U_\alpha)$. Но $U_\alpha \in \tau$, следователно $(\exists \varepsilon > 0)(B(x,\varepsilon) \subseteq U_\alpha)$. Но $U_\alpha \subseteq U$, следователно $(\exists \varepsilon > 0)(B(x, \varepsilon) \subseteq U)$. Следователно $U$ е отворено\_. \end{itemize} %%% \paragraph*{Задача:} Нека $x \in \Rbb^n$ и $\varepsilon \in \Rbb, \varepsilon >0$. Да се докаже, че $B(x,\varepsilon) \in \tau$. $B(x, \varepsilon) \in \tau$ точно когато $(\forall y \in B(x, \varepsilon))(\exists \delta_y > 0)(B(y, \delta_y) \subseteq B(x,\varepsilon))$. Нека $y \in B(x, \varepsilon)$ е произволно. Избираме $\delta_y > 0$ такова, че $\delta_y < \varepsilon - \rho(x,y)$. Такова има, защото $\rho(x,y) < \varepsilon$.\\ Нека $z \in B(y, \delta_y)$ е произволно. Тогава $\rho(y,z) < \delta_y$. Получаваме последователно:\\ $\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z)$\\ $\rho(x,z) < \rho(x,y) + \delta_y$\\ $\rho(x,z) < \rho(x,y) + \varepsilon - \rho(x,y)$\\ $\rho(x,z) < \varepsilon$\\ Следователно $z \in B(x,\varepsilon)$, следователно $B(y, \delta_y) \subseteq B(x, \varepsilon)$, следователно $B(x,\varepsilon) \in \tau$. %%% %%% \paragraph*{Задача:} Нека $P=(X, \le)$ е частично наредено множество, като $X$ е крайно. Докажете, че $\Rcal(P) = \Sigma(P)$. По дефиниция $\Sigma(P) \subseteq \Rcal(P)$. Остава да покажем, че $\Rcal(P) \subseteq \Sigma(P)$, тоест, че всяко дясно подмножество на $X$ е Скот-отворено\footnote{Доказателството, което следва не е това от лекциите, защото го нямам записано. Може да не е коректно.}. Нека $U \in \Rcal(P)$ е произволно, нека $D \subseteq X$ е произволно насочено и нека $\mathrm{sup}D \in U$. $D$ е крайно и е частично наредено, следователно има поне един максимален елемент. Нека $x,y \in D$ са максимални в $D$. Понеже $D$ е насочено имаме $(\exists z \in D)(x \le z \And y \le z)$. Но $x$ е максимален и $x \le z$ по дефиниция (на максимален елемент) означава $x = z$. Аналогично $y = z$, следователно всеки два максимални елемента на $D$ съвпадат, тоест $D$ има най-голям елемент. Нека това е $m$. Тогава $m$ е мажоранта на $D$, следователно $\mathrm{sup}D \le m$. Но $m \le \mathrm{sup}D$, защото $m \in D$, следователно $m = \mathrm{sup}D$. Така $\mathrm{sup}D \in D$ и $\mathrm{sup}D \in U$, следователно $U \cap D \neq \emptyset$. Следователно $U$ е Скот-отворено. \qed %%% %%%%%%%%%% \newpage \begin{definition} Нека $(X, \tau)$ и $(Y, O)$ са топологични пространства. Нека $f: X \rightarrow Y$ е функция. Казваме, че $f$ е непрекъсната, ако за всяко $V \in O$, праобразът\footnote{Тук използвам означението $f^{-1}[V] = \set{x \in X \st f(x) \in V}$, за да няма обърквания. На лекции изполваме обикновени скоби за праобраз.} $f^{-1}[V] \in \tau$ \end{definition} \begin{definition} Нека $(X, \tau)$ и $(Y, O)$ са топологични пространства. Функ\-ция\-та $f: X \rightarrow Y$ се нарича хомеоморфизъм, ако е биекция и $f$ и $f^{-1}$ са не\-пре\-къс\-на\-ти. \end{definition} \begin{definition} Две топологични пространства се наричат хомеоморфни, ако съществува хомеоморфизъм между тях. \end{definition} \begin{definition} Нека $X$ е множество и $\tau_1, \tau_2$ са топологии в $X$. Казваме, че $\tau_1$ е по-слаба от $\tau_2$ (или, че $\tau_2$ е по-силна от $\tau_1$), ако $\tau_1 \subseteq \tau_2$. \end{definition} Множеството на всички топологии в $X$ е частично наредено от тази релация. Най-слабата топология в $X$ е антидискретната - $\set{\emptyset, X}$, а най-силната --- дискретната - $\pset(X)$. \begin{tvyr} Нека $\Phi = \{f_\alpha: (X_\alpha, \tau_\alpha) \rightarrow Y \st \alpha \in A, (X_\alpha, \tau_\alpha)$ е т.п. $\}$. Полагаме $$\tau_\Phi \leftrightharpoons \set{U \subseteq Y \st (\forall \alpha \in A)(f^{-1}_{\alpha}[U] \in \tau_\alpha)}$$ Тогава $\tau_\Phi$ е тополгия в $Y$ и всички изображения от $\Phi$ са непрекъснати (спрямо $(Y, \tau_\Phi)$). Нещо повече, $\tau_\Phi$ е най-силната топология с това свойство. \end{tvyr} %%% Аксиомите за топология: \begin{itemize} \item{(О1)} За произволно $\alpha \in A$, $\emptyset \in \tau_\alpha$ и $\emptyset = f^{-1}_{\alpha}[\emptyset]$, следователно $\emptyset \in \tau_\Phi$. Също имаме $f^{-1}_{\alpha}[Y] = \tau_\alpha$, следователно $Y \in \tau_\Phi$. \item{(О2)} Нека $U, V \in \tau_\Phi$. За произволно $\alpha \in A$ имаме $f^{-1}_{\alpha}[U \cap V] = f^{-1}_{\alpha}[U] \cap f^{-1}_{\alpha}[V]$, но $f^{-1}_{\alpha}[U], f^{-1}_{\alpha}[V] \in \tau_\alpha$, следователно $U \cap V \in \tau_\Phi$. \item{(О3)} Нека $U = \set{U_j \st j \in J} \subseteq \tau_\Phi$. За произволни $\alpha \in A$ и $j \in J$ имаме $f^{-1}_{\alpha}[U_j] \in \tau_\alpha$, и също $f^{-1}_{\alpha}[\underset{j \in J}{\bigcup}U] = \underset{j \in J}{\bigcup} f^{-1}_{\alpha}[U_j]$. Следователно $\cup U \in \tau_\Phi$ \end{itemize} Остава да видим, че $\tau_\Phi$ е максимална по включване със свойството\\ $(\forall \alpha \in A)(f_\alpha: X_\alpha \rightarrow Y$ е непрекъсната $)$. Нека $O$ е топология в $Y$ с това свойство, и нека $U \in O$. Тогава за всяко $\alpha \in A$ имаме $f^{-1}_{\alpha}[U] \in \tau_\alpha$. Следователно $U \in \tau_\Phi$, следователно $O \subseteq \tau_\Phi$. Наричаме $\tau_\Phi$ финална топология за фамилията $\Phi$. %%% %%% \paragraph*{Примери:} Нека $\Phi = \set{f}$, като $f: (X, \tau) \rightarrow Y$ е сюрекция. Тогава $\tau_\Phi$ се нарича фактортопология в $Y$. Ако имаме релация на еквивалентност $\rho$ в $X$, то функцията $f: X \rightarrow X / \rho$ дефинирана като $f(x) = [x]$ е сюрекция. Ако $\Phi = \set{f}$, то $\tau_\Phi$ е фактор топология в $X / \rho$. Обратно ако имаме сюрекция $f: X \rightarrow Y$, то $R \leftrightharpoons \set{f^{-1}[y] \st y \in Y}$ е разбиване на $X$. От съответната релация на еквивалентност на $R$ можем да построим фактортопология. \paragraph*{} Нека $X$ е множество и $F \subseteq X$. Построяваме разбиването на $X$ ("`слепваме"' елементите на $F$) $$R \leftrightharpoons \set{F} \cup \set{ \set{x} \st x \in X \setminus F}$$ Например ако $X = [0,1] \subseteq \Rbb$ и $F = \set{0,1}$, то получената фак\-тор\-то\-по\-ло\-гия е окръжност. \subsection*{} %%% \begin{definition} Нека $\Xcal = \set{ X_\alpha \st \alpha \in A}$. Дизюнктна сума на фамилията $\Xcal$ наричаме: $$\underset{\alpha \in A}{\bigoplus} X_\alpha \leftrightharpoons \cup \set{X_\alpha \times \set{\alpha} \st \alpha \in A}$$ \end{definition} Нека $\Xcal = \set{ (X_\alpha, \tau_\alpha) \st \alpha \in A}$ е множество от топологични пространства. Полагаме $X \leftrightharpoons \underset{\alpha \in A}{\bigoplus} X_\alpha$ и за всяко $\alpha \in A$ дефинираме функцията $i_\alpha: X_\alpha \rightarrow X$ като $i_\alpha(x) \leftrightharpoons (x, \alpha)$. Полагаме също $\Phi \leftrightharpoons \set{i_\alpha \st \alpha \in A}$. Тогава пространството $(X, \tau_\Phi)$ (финалната топология на $\Phi$) се нарича топологична сума на пространствата $\set{ (X_\alpha, \tau_\alpha) \st \alpha \in A}$.