%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Нека $(X, \tau)$ е топологично пространство и $B \subseteq \tau$. Казваме, че
$B$ е база на $(X, \tau)$ (или само на $\tau$), ако:
$$(\forall U \in \tau)(\exists B_U \subseteq B)(U = \cup B_U)$$
\end{definition}


%%%
\paragraph*{Пример:}
Нека $X$ е множество. Тогава $B = \set{ \set{x} \st x \in X}$ е база на $(X,
\pset(X))$. Наистина, всяко $U \subseteq X$ се представя като $U =
\underset{x \in U}{\bigcup} \set{x}$, където $\set{x} \in B$ за всяко $x \in
U$.

В случая имаме $|B| = |X| < |\pset(X)|$.
%%%


\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е топологично пространство и $B \subseteq \tau$. Тогава $B$ е
база тогава и само тогава, когато:
$$(\forall x \in X)(\forall U \in \tau, U \ni x)(\exists V \in B)(x \in V \subseteq U)$$
\end{tvyr}
%%%
$\rightarrow)$ Нека $B$ е база, $x \in X$ е произволно и нека $U \in \tau$ е
произволна околност на $x$. Тогава съществува $B_U \subseteq B$, такова че $U =
\cup B_U$.  Тогава $x \in \cup B_U$, тоест съществува $V \in B_U$, че $x \in
V$. Освен това $V \in B$ и $V \subseteq U$, значи $V$ удовлетворява условието.

$\leftarrow)$ Нека е изпълнено условието и нека $U \in \tau$ е произволно.
Тогава $(\forall x \in U)(\exists V_x \in B)(x \in V_x \subseteq U)$. Полагаме
$B_U \leftrightharpoons \set{V_x \st x \in U}$. Тогава $B_U \subseteq B$ и
$\cup B_U = U$, следователно $B$ е база.
%%%


\paragraph*{Пример:}
Множеството $B = \set{ (a,b) \st a,b \in \Rbb, a < b}$\footnote{Тук
$(a,b)$ е интервал, не наредена двойка} е база на естествената топология в
$\Rbb$

Знаем, че $U \subseteq \Rbb$ е отворено в естествената топология т.с.т.к.
$(\forall x \in U)(\exists \varepsilon > 0)( (x - \varepsilon, x + \varepsilon)
\subseteq U)$. Но $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \in B$ и от миналото
твърдение следва, че $B$ е база.


\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е топологично пространство и $B \subseteq \tau$ е база. Тогава
за $B$ са в сила:
\begin{itemize}
\item{(B1)} $B$ е покритие на $X$ --- $\cup B = X$
\item{(B2)} $(\forall U,V \in B)(\forall x \in U \cap V)(\exists W \in B)(x \in
W \subseteq U \cap V)$
\end{itemize}
\end{tvyr}
%%%
(B1) Знаем, че $X \in \tau$, следователно $(\exists B_X \subseteq B)$, такова
че $\cup B_X = X$. Но $\cup B_X \subseteq \cup B \subseteq X$, следователно
$\cup B = X$.

(B2) Нека $U,V \in B$ и $x \in U \cap V$ са произволни. Тогава $U \cap V \in
\tau$, тоест $U \cap V$ е околност на $x$. От миналото твърдение следва, че
$\exists W \subseteq B$, такова че $x \in W \subseteq U \cap V$. \qed
%%%


\begin{lemma}
Нека $X$ е множество и $B \subseteq \pset(X)$. Нека с (B2') означим
свойството:
$$(\forall U,V \in B)(\exists B_{U,V} \subseteq B)(U \cap V = \cup B_{U,V})$$
Тогава (B2) и (B2') са еквивалентни.
\end{lemma}
%%%
(B2) $\rightarrow$ (B2'): Нека $U, V \in B$ и нека $x \in U \cap V$. Тогава от
(B2) получаваме, че $(\exists W_x \in B)(x \in W_x \subseteq U \cap V)$.
Полагаме $B_{U,V} = \set{W_x \st x \in U \cap V}$. Тогава $B_{U,V} \subseteq B$
и $\cup B_{U,V} = U \cap V$.

(B2') $\rightarrow$ (B2): Нека $U,V \in B$ и $x \in U \cap V$. От (B2') имаме,
че $(\exists B_{U,V} \subseteq B)(\cup B_{U,V} = U \cap V)$. Тогава $(\exists W
\in B_{U,V})(x \in W)$, като $W \subseteq B$, което е точно условието (B2).
%%%


\begin{theorem}
Нека $X$ е множество, $B \subseteq \pset(X)$ и $B$ удовлетворява условия
(B1) и (B2) от горното твърдение. Полагаме
$$\tau \leftrightharpoons \set { \cup B' \st B' \subseteq B}$$
Тогава $\tau$ е топология в $X$ и $B$ е база на $(X, \tau)$. $\tau$ се нарича
топология в $X$, породена от "`базата"' $B$.
\end{theorem}
%%%
Проверяваме аксиомите:
\begin{itemize}
\item{(О1)} $\emptyset = \cup \emptyset, \emptyset \subseteq B$\\
$X = \cup B, B \subseteq B$ (следва от свойство (B1))

\item{(O2)} Нека $U,V \in \tau$, тогава $U = \cup B_U, V = \cup B_V$ за някакви
$B_U, B_V \subseteq B$. Тогава $U \cap V = (\cup B_U) \cap (\cup B_V) = \cup
\set{ u \cap v \st u \in B_U, v \in B_V}$. Но от (B2') имаме, че за всеки $u
\in B_U, v \in B_V$ съществува $B_{u,v} \subseteq B$, такова че $u \cap v =
\cup B_{u,v}$. Следователно $\set{u \cap v \st u \in B_U, v \in B_V} \subseteq
B$, следователно $U \cap V \in \tau$.

\item{(O3)} Нека $\Ucal = \set {U_\alpha \st \alpha \in A} \subseteq
\tau$. За всяко $\alpha \in A$ имаме $(\exists B_\alpha \subseteq B)(U_\alpha =
\cup B_\alpha)$.  Полагаме $B' = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} B_\alpha$.
Тогава $B' \subseteq B$ и $\cup B' = \cup \Ucal$, следователно
$\Ucal \in \tau$.
\end{itemize}
%%%


\paragraph*{Пример:}
Нека $X = \Rbb, B = \set{ [x, r) \st x \in \Rbb, r \in \Qbb,
x < r}$. Тогава $B$ у\-до\-влет\-во\-ря\-ва (B1) и (B2), следователно поражда
топология в $\Rbb$. Тя се нарича топология на Зоргенфрей и се бележи с
$(\Rbb, \mathcal{Z})$.


\begin{definition}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. Тегло на $(X, \tau)$ наричаме кардиналното число
$\omega(X, \tau) \leftrightharpoons \mathrm{min} \set{ |B| \st B \subseteq
\tau, B$ е база на $(X, \tau)}$
\end{definition}


\begin{fact}
$\omega(\Rbb, \tau_{\text{ест}}) = \aleph_0$\\
$\omega(\Rbb, \mathcal{Z}) = \mathfrak{C}$
\end{fact}


\begin{fact}
Теорема на Александров-Урисон: Нека $(X, \tau)$ е топологично
пространство и $\omega(X, \tau) \ge \aleph_0$. Нека $B$ е база на $\tau$.
Тогава съществува $B' \subseteq B$, такова, че $B'$ е база и $|B'| = \omega(X,
\tau)$.
\end{fact}


\subsection*{}
\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $B$ е база на $\tau$. Въвеждаме следните означения за
всяко $x \in X$:\\
$\tau_x \leftrightharpoons \set{ U \in \tau \st x \in U}$\\
$B_x \leftrightharpoons \set{ V \st x \in V \in B}$\\
$N(x) = \cap \tau_x$\\
Тогава за всяко $x \in X$ е в сила $N(x) = \cap B_x$.
\end{tvyr}
%%%
Нека $x \in X$. Имаме $B_x \subseteq \tau_x$, следователно $\cap \tau_x
\subseteq \cap B_x$.

Понеже $B$ е база, за всяка околност $U$ на $x$ --- $\forall U \in \tau_x$ ---
съществува $V \in B$, такова че $x \in V \subseteq U$. Но $x \in V$,
следователно $V \in B_x$. Следователно $\cap B_x \subseteq \cap \tau_x$.

Следователно $N(x) = \cap \tau_x = \cap B_x$.
%%%


\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е Александровско т.п. Тогава $(X, \tau)$ има най-малка
\emph{по включване} база --- $B_s \leftrightharpoons \set{N(x) \st x \in X}$.
\end{tvyr}
%%%
За всяко $x \in X$, $N(x) \in \tau$, защото $(X, \tau)$ е Александровско т.п.,
сле\-до\-ва\-тел\-но $B_s \subseteq \tau$. Първо ще докажем, че $B_s$ е база.

Нека $U \in \tau$ и $x \in U$ са произволни. Тогава $x \in N(x) \subseteq U$.
Но $N(x) \in B_s$, следователно (съгласно твърдение 8) $B_s$ е база.

Нека сега $B$ е произволна база на $(X, \tau)$. Ще покажем, че $B_s \subseteq
B$.

Нека $V \in B_s$ е произволен елемент ---  $V = N(x)$ за някое $x \in X$.
Тогава, понеже $B$ е база, отново от твърдение 8 получаваме $(\exists U \in B)(X
\in U \subseteq N(x))$. Но $U$ е околност на $x$, следователно $N(x) \subseteq
U$. Следователно $N(X) = U$ и $N(x) \in B$.

\paragraph*{Задача:}
Дали е вярно обратното твърдение --- ако $(X, \tau)$ има минимална база
то $(X, \tau)$ е Александровско? Не е вярно, ето контрапример:

Нека $X \leftrightharpoons \set{0} \cup \set{ \frac{1}{n} \st n \in
\Nbb^{+}}$.\\
Полагаме $U_1 \leftrightharpoons X$, а за всяко $n > 1$: $\quad U_n
\leftrightharpoons X \setminus \set{1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n-1}}$.\\
Тогава $\tau \leftrightharpoons \set{ U_n \st n \in \Nbb^{+}} \cup
\set{\emptyset}$ е топологично пространство, но не е Александровско, защото
$\bigcap_{n \in \Nbb^{+}} U_n = \set{0}$, което не е отворено множество.

Имаме $U_1 \supset U_2 \supset U_3 \supset \dots$ (като никъде няма равенство).

Нека $B \leftrightharpoons \tau \setminus \set{\emptyset}$. Очевидно $B$ е
база. Нека $B'$ е произволна база. Ще докажем, че $B \subseteq B'$. 

Нека $U_n \in B$. Да допуснем, че $U_n \notin B'$. Имаме $\frac{1}{n} \in U_n$,
следователно $(\exists V \in B')(\frac{1}{n} \in V \subseteq U_n)$. Нека $V =
U_m$.
\begin{itemize}
\item Ако $m < n$, то $U_m \supset U_n$, което е противоречие с $U_m \subseteq U_n$.
\item Ако $m > n$, то според дефиницията на $U_m$, $\frac{1}{n} \notin U_m$,
което също е противоречие.
\item Ако $m = n$, то имаме $V = U_m = U_n \in B'$, което отново е противоречие.
\end{itemize}

Следователно $U_n \in B'$ и $B \subseteq B'$. Следователно $B$ е минимална база
на $(X, \tau)$. Тогава единствената друга база е самото $\tau$.
%%%%%%%%%%

%%


\paragraph*{Задача:}
Докажете, че $(\Rbb, \tau_{\text{ест}})$ няма най-малка база.
%%% ако намерим две бази B_1 и B_2, минимални по включваме, като нито B_1 съдържа B_2 нито обратното?

\paragraph*{Задача:}
Да се докаже, че $B \leftrightharpoons \set{ (r,s) \st r,s \in \Qbb,
r<s}$ е база на $(\Rbb, \tau_{\text{ест}})$.

Нека $x \in \Rbb$ е произволно и $U$ е произволна околност на $x$. Тогава
$(\forall x \in U)(\exists \varepsilon > 0)((x - \varepsilon, x + \varepsilon)
\subseteq U)$. Нека $\varepsilon$ има това свойство за избраното вече $x$.
Тоест нека $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U$. Нека $y \in
\Qbb \cap (x - \varepsilon, x)$ и $z \in \Qbb \cap (x, x +
\varepsilon)$. Тогава $x \in (y, z) \in B$ и $(y, z) \subseteq (x -
\varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U$. Следователно $B$ е база (твърдение
8).

Всеки елемент на $B$ се определя еднозначно от двойката от рационални числа $r$
и $s$, следователно $|B| \le |\Qbb \times \Qbb| = \aleph_0$.
Разбира се, $B$ е безкрайно, следователно $|B| = \aleph_0$.

Така получихме, че $\omega(\Rbb, \tau_{\text{ест}}) \le \aleph_0$. Да
разгледаме фамилията от отворени множества $P = \set{ (n - 0.25, n + 0.25) \st
n \in \Zbb} \subseteq \tau_{\text{ест}}$. Очевидно това е безкрайна и
дизюнктна фамилия. Според твърдение 8, ако $B$ е база, то за всеки елемент $p
\in P$ съществува $V \in B$, такова че $V \subseteq p$, следователно $B$ е
безкрайно множество.

Следователно $\omega(\Rbb, \tau_{\text{ест}}) = \aleph_0$.