\begin{definition}
Нека $X$ е множество и $P \subseteq \pset(X)$. Полагаме $FI(P)$ да бъде
семейството на всички крайни сечения на елементите на $P$. Тоест:
$$FI(P) \leftrightharpoons \set{ \cap Z \st Z \subseteq P, Z \text{ е крайно }}$$.
\end{definition}


\begin{tvyr}
$P \subseteq FI(P)$ и $FI(FI(P)) = FI(P)$.
\end{tvyr}
%%%
Нека $A \in P$. Тогава $A$ се представя във вида $\cap \set{A}$, като $\set{A}
\subseteq P$, следователно $A \in FI(P)$. Следователно $P \subseteq FI(P)$ и
оттам\\ $FI(P) \subseteq FI(FI(P))$.

Нека $A \in FI(FI(P))$. Тогава $A$ се представя във вида $A = \bigcap_{i=1}^{k}
A_i$, където $A_i \in FI(P)$ (за всяко $i \in \set{1,2,\dots,k}$). Тогава за
всяко $i$,\\ $A_i = \bigcap_{j=1}^{k_i} B_{i_j}$, където $B_{i_j} \in P$.
Тогава $A = \bigcap_{i=1}^{k} \bigcap_{j=1}^{k_j} B_{i_j}$, което е крайно
сечение на елементи на $P$, следователно $A \in FI(P)$. Следователно\\
$FI(FI(P)) \subseteq FI(P)$.

Следователно $FI(P) = FI(FI(P))$. \qed
%%%


\begin{definition}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $P \subseteq \pset(X)$. Казваме, че $P$ е
предбаза на $(X, \tau)$, ако $FI(P)$ е база на $(X, \tau)$.
\end{definition}


\begin{fact}
Нека $P$ е предбаза на т.п. $(X, \tau)$. Тогава $P \subseteq \tau$.
\end{fact}
Имаме $P \subseteq FI(P) \subseteq \tau$, защото $FI(P)$ е база.


\begin{fact}
Всяка база на т.п. $(X, \tau)$ е предбаза.
\end{fact}
Защото всяко разширение на една база също е база (стига да не напуска $\tau$).


\begin{tvyr}
Нека $P$ е предбаза на т.п. $(X, \tau)$. Тогава $\cup P = X$.
\end{tvyr}
%%%
$\cup FI(P) = X$, защото $FI(P)$ е база. Нека $s \in \cup FI(P)$. Тогава
съществува крайно $A \subseteq P$, $s \in \cap A$. Следователно $s \in \cup P$
и $\cup FI(P) \subseteq \cup P$. Но $P \subseteq FI(P)$, следователно $\cup P
\subseteq \cup FI(P)$. Следователно $\cup P = \cup FI(P)$.
%%%


\begin{theorem}
Нека $X$ е множество и $P \subseteq \pset(X)$ е покритие на $X$. Тогава
$FI(P)$ удовлетворява (B1) и (B2) и следователно поражда топология $\tau$ в
$X$, за която $FI(P)$ е база. Тогава $P$ е предбаза на $\tau$ и $\tau$ се
нарича топология в $X$ породена от "`предбазата"' $P$.
\end{theorem}
%%%
(B1) е изпълнено, защото $\cup P = X$ ($P$ е покритие) и $\cup FI(P) = \cup P$
(доказва се като в миналото твърдение)

Нека $U, V \in FI(P)$. Тогава $U \cap V \in FI(P)$, защото $U$ и $V$ са крайни
сечения на елементи на $P$. Тогава самото $U \cap V$ има свойствата на $W$ от
(B2).
%%%


\paragraph*{Пример:}
Нека $X$ е безкрайно множество и $x_0 \in X$. Полагаме $O_{x_0}$ да бъде
топологията в $X$ породена от (предбазата)
$$\set{ X \setminus \set{x} \st x \in X} \cup \set{ \set{x} \st x \in X
\setminus \set{x_0}}$$



%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\begin{definition}
Едно ч.н.м. $(X, \le)$ се нарича решетка, ако има най-голям и най-малък
елемент\footnote{В други дефиниции на решетка това свойство не се изисква} и за
всеки два елемента $a, b \in X$ съществуват $\mathrm{inf} \set{a,b}$ и
$\mathrm{sup} \set{a,b}$ (които се означават съответно с $a \land b$ и $a \lor
b$ и се наричат още съответно meet и join). Най-големият елемент се нарича
единица, а най-малкият ---нула. Означаваме ги съответно $1$ и $0$.
\end{definition}


\begin{definition}
Едно ч.н.м. $(X, \le)$ се нарича пълна решетка ако за про\-из\-вол\-но $X'
\subseteq X$ съществуват $\mathrm{inf} X'$ (означаваме $\bigwedge X'$) и
$\mathrm{sup} X'$ (означаваме $\bigvee X'$).
\end{definition}


За пълните решетки имаме $\mathrm{inf} \emptyset = 1$ и $\mathrm{sup} \emptyset
= 0$.


\begin{tvyr}
Нека $X$ е множество. Тогава фамилията от всички топологии в $X$ ---
$\mathrm{Top}(X)$ --- образува пълна решетка с наредбата $\le$\footnote{Това е
наредбата съвпадаща с $\subseteq$, дефинирана по-рано}.
\end{tvyr}
%%%
Нека $\set{ \tau_\alpha \st \alpha \in A} \subseteq \mathrm{Top}(X)$.

Полагаме $\tau \leftrightharpoons \underset{\alpha \in A}{\bigcap}
\tau_\alpha$. Тогава $\tau \in \mathrm{Top}(X)$ и $\tau$ е $\mathrm{inf}$ на
фамилията $\set{\tau_\alpha \st \alpha \in A}$. Аксиомите се проверяват
директно:
\begin{itemize}
\item{(O1)} За всяко $\alpha \in A$, $\tau_\alpha$ е топология в $X$,
следователно $\emptyset, X \in \tau_\alpha$. Следователно $\emptyset, X \in
\tau$.

\item{(02)} Ако $U, V \in \tau$, то $U, V \in \tau_\alpha$ за всяко $\alpha \in
A$ и понеже $\tau_\alpha$ са топологии, $U \cap V \in \tau_\alpha$. Това е за
произволно $\alpha \in A$, следователно $U \cap V \in \tau$.

\item{(O3)} Ако $\Ucal \subseteq \tau$, то $\Ucal \subseteq
\tau_\alpha$ за всяко $\alpha \in A$, следователно $\cup \Ucal \in
\tau_\alpha$, следователно $\cup \Ucal \in \tau$.
\end{itemize}

Това е инфимум --- нека $\tau'$ е такава топология, че за всяко $\alpha \in A$
$\tau' \subseteq \tau_\alpha$. Тогава очевидно $\tau' \subseteq \tau$.

Супремум на $\set{\tau_\alpha \st \alpha \in A}$ е топологията в $X$, породена
от предбазата $P = \underset{\alpha \in A}{\bigcup} \tau_\alpha$. Очевидно
$\cup P = X$ и от миналата теорема следва, че $P$ поражда топология $\tau$ в
$X$, за която $P$ е предбаза. Ще проверим, че $\tau$ е най-малката мажоранта на
$\set{ \tau_\alpha \st \alpha \in A}$.

За всяко $\alpha \in A$ имаме $\tau_\alpha \subseteq P \subseteq FI(P)
\subseteq \tau$, следователно $\tau$ наистина е мажоранта.

Нека $\tau'$ е произволна мажоранта на нашата фамилия, тоест за всяко $\alpha \i A
\quad \tau_\alpha \subseteq \tau'$. Тогава $P \subseteq \tau'$. Но $\tau'$ е топология,
следователно е затворена относно крайни сечения, следователно $FI(P) \subseteq \tau'$.
Но $FI(P)$ по построение е база на $\tau$, следователно всеки елемент на $\tau$ има вида
$U = \cup B$, където $B \in FI(P)$. Тогава това $U \in \tau'$ заради аксиома (02) за $\tau'$.
Следователно $\tau$ е най-малката мажоранта.
%%%


\paragraph*{Пример:}
Нека $P = (X, \le)$ е ч.н.м.

Полагаме $\Phi(P)$ да бъде топологията в $X$, породена от предбазата $\set{X
\setminus \cdownarrow x \st x \in X} \cup \set{X}$. Тя се нарича дясноинтервална
топология в $P$.

Аналогично дефинираме лявоинтервална топология в $P$ --- $\Omega(P)$ ---
по\-ро\-де\-на от предбазата $\set {X \setminus \cuparrow x \st x \in X} \cup
\set{X}$.

Топология на Лоусън в $P$ --- топологията $\Lambda(P) \leftrightharpoons
\Omega(P) \lor \Sigma(P)$