Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $x \in X$.

\begin{definition}
Нека $B_x \subseteq \tau$. Казваме, че $B_x$ е локална база на $(X, \tau)$ в
точката $x$, ако $B(x)$ е множество от околности на $x$ и за всяка околност $U$
на $x$ съществува $V \in B_x$, такова че $x \in V \subseteq U$.
\end{definition}

\begin{definition}
Характер на пространството $(X, \tau)$ в точката $x$ наричаме кардиналното
число $\chi(x, X) \leftrightharpoons \mathrm{min} \set{ |B_x| \st B_x$ е
локална база в $x$ за $(X, \tau)}$.
\end{definition}

\begin{definition}
Характер на пространството $(X, \tau)$ наричаме кар\-ди\-нал\-но\-то число
$\chi(X) \leftrightharpoons \mathrm{sup} \set{ \chi(x, X) \st x \in X}$.
\end{definition}

\begin{definition}
Ако $\chi(X) \le \aleph_0$, казваме, че $(X, \tau)$ удовлетворява първата
аксиома за изброимост.\\ Ако $\omega(X, \tau) \le \aleph_0$, казваме, че $(X,
\tau)$ удовлетворява втората аксиома за изброимост.
\end{definition}

\begin{definition}
Ако за всяко $x \in X$, $B_x$ е локална база в $x$ за $(X, \tau)$, то фамилията
$\set{B_x \st x \in X}$ се нарича базисна система от околности на $(X, \tau)$.
\end{definition}


\paragraph*{Пример:}
Разглеждаме $(\Rbb, \tau_{\text{ест}})$. За всяко $x \in X$ полагаме \\
$B_x \leftrightharpoons \set{B(x, \varepsilon) \st \varepsilon > 0}$.

Тогава $B_x$ е локална база за $x$, следователно $\set{B_x \st x \in X}$ е
базисна система от околности.

\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $B$ е база. За всяко $x \in X$ полагаме $B_x
\leftrightharpoons \set{U \in B \st x \in U}$. Тогава $\set{B_x \st x \in X}$ е
базисна система от околности на $(X, \tau)$.
\end{tvyr}

\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $\set{B_x \st x \in X}$ е базисна система от
околности. Тогава $B \leftrightharpoons \bigcup_{x \in X} B_x$ е база на $(X,
\tau)$.
\end{tvyr}


\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. и $\set{B_x \st x \in X}$ е базисна система от
околности. Тогава:
\begin{itemize}
\item{(BN1)} $(\forall x \in X)\Big(B_x \neq \emptyset$ и $(\forall U \in
B_x)(x \in U)\Big)$

\item{(BN2)} $(\forall x \in X)(\forall U,V \in B_x)(\exists W \in B_x)(W
\subseteq U \cap V)$

\item{(BN3)} $(\forall x,y \in X)(\forall U \in B_y)\Big{(}x \in U \Rightarrow
(\exists V \in B_x)(V \subseteq U)\Big{)}$
\end{itemize}
\end{tvyr}
%%%
Нека $\set{B_x \st x \in X}$ е базисна система от околности за $(X, \tau)$.

За произволно $x \in X$, $X$ е околност на $x$.
Следователно съществува $V \in B_x$, такъв че $V \subseteq X$. Следователно
$B_x$ не е празно. Второто условие от (BN1) следва директно от дефиницията.

Нека $x \in X$ е произволно и $U,V \in B_x$ са произволни. Тогава $U$ и $V$ са
околности на $x$, следователно $U \cap V$ е околност на $x$. Следователно
съществува $W \in B_x$, такова че $W \subseteq U \cap V$.

Нека $x,y \in X$ и $U \in B_x$ са произволни. Нека $x \in U$. Тогава $U$ е
околност на $x$, следователно съществува $V \in B_x$, такова че $V \subseteq U$
%%%

\begin{theorem}
Нека $X$ е множество и за всяко $x \in X$ е зададена фамилия $B(x)$ от
подмножества на $X$, така че да са удовлетворени (BN1), (BN2), (BN3).  Тогава
фамилията $B = \underset{x \in X}{\bigcup} B(x)$ удовлетворява условията (B1) и
(B2) и следователно поражда топология $\tau$ в $X$.

Фамилията $\set{B(x) \st x \in X}$ се явява базисна система от околности на
$(X, \tau)$ и по тази причина $\tau$ се нарича топология породена от
"`базисната система от околности"' $\ \set{B(x) \st x \in X}$
\end{theorem}
%%%
Нека $x \in X$ е произволно. Тогава от (BN1) получаваме, че $B(x) \neq
\emptyset$, тоест $\exists U \in B(x)$ и тогава $x \in U$. Следователно $x \in
\cup B$ и $\cup B = X$ --- (B1).

Нека $U, V \in B$ и $x \in U \cap V$ са произволни. Тогава $U \in B(y)$ и $V
\in B(z)$ за някакви $y,z \in X$ (според дефиницията на $B$). Така получаваме
$x \in U \in B(y)$, следователно (от (BN3)) $(\exists U_1 \in B(x))(U_1
\subseteq U)$. Аналогично $(\exists V_1 \in B(x))(V_1 \subseteq V)$. Тогава от
(BN2) получаваме $(\exists W \in B(x))(W \subseteq U_1 \cap V_1)$.

Тогава $W \in B$, $x \in W \subseteq U_1 \cap V_1 \subseteq U \cap V$,
следователно е в сила (B2).

Следователно $B$ удовлетворява (B1) и (B2) и от миналата теорема следва, че $B$
поражда топология $\tau$ в $X$, за която $B$ е база. Остава да докажем, че
$\set{B(x) \st x \in X}$ е базисна система от околности, тоест че за всяко $x
\in X$, $B(x)$ е локална база на $(X, \tau)$ в точката $x$.

Нека $x \in X$ е произволно и $U$ е произволна околност на $x$. Тогава
$(\exists V \in B)(x \in V \subseteq U)$. Но $V \in B$ значи, че $V \in B(y)$
за някое $y \in X$. Тогава $x \in V \in B(y)$ и от (BN3) следва, че $(\exists W
\in B(x))(W \subseteq V)$. Следователно $x \in W \subseteq V \subseteq U$ и $W
\in B(x)$. И понеже от (BN1) следва, че $B(x)$ е множество от околности на $x$,
то $B(x)$ е локална база в $x$.
%%%

\begin{definition}
Едно т.п $(X, \tau)$ се нарича хаусдорфово (или $T_2$ пространство) ако е в сила:
$$(\forall x,y \in X, x \neq y)(\exists U,V \in \tau)(x \in U, y \in V, U \cap V = \emptyset)$$
\end{definition}

Ако множествата $B(x)$ за $x \in X$ от теоремата удовлетворяват следната
допълнителна аксиома, то полученото пространство е хаусдорфово:
\begin{itemize}
\item{(BN4)} $(\forall x, y \in X, x \neq y)(\exists U \in B(x), V \in B(y))(U
\cap V = \emptyset)$
\end{itemize}

\begin{fact}
$(\Rbb^n, \tau_{\text{ест}})$ е хаусдорфово пространство.
\end{fact}

\begin{fact}
Едно крайно т.п. е хаусдорфово точно когато е дискретното.
\end{fact}
Нека $(X, \tau)$ е хаусдорфово, като $X$ е крайно. За всяко $y \in X, y \neq x$
има околност $U_y$ на $x$, която не съдържа $y$. Тогава $\cap \set{U_y | y \in
X \setminus \set{x}} = \set{x}$. Но това е крайно сечение на отворени
множества, следователно $\set{x}$ е отворено. Следователно $(X, \tau )$ е
дискретно.

\begin{theorem}
Нека $X$ е множество и за всяко $x \in X$ е зададено $U_x \subseteq X$, така че:
\begin{itemize}
\item{(BA1)} $(\forall x \in X)(x \in U_x)$
\item{(BA2)} $(\forall x,y \in X)(x \in U_y \Rightarrow U_x \subseteq U_y)$
\end{itemize}
Полагаме за всяко $x \in X \quad B(x) \leftrightharpoons \set{U_x}$.
Тогава фамилията $\set{B(x) \st x \in X}$ удовлетворява (BN1)--(BN3),
следователно поражда топология в $X$, за която $\set{B(x) \st x \in X}$ е
базисна система от околности.  Нека $B \leftrightharpoons \underset{x \in
x}{\bigcup} B(X) = \set{U_x \st x \in X}$. Тогава $(X, \tau)$ е Александровско
пространство и $B$ е неговата минимална база.
\end{theorem}
%%%
\begin{itemize}
\item{(BN1)} Следва директно от (BA1).
\item{(BN2)} Изпълнено е, защото $B(x)$ са едноточкови.
\item{(BN3)} Следва директно от (BA2).
\end{itemize}
За всяко $x \in X$ имаме (според твърдение 10) $N(x) = \cap \set{ U \in B \st x
\in U} = \cap \set { U_y \st y \in X, x \in U_y}$. Но от (BA2) имаме, че $U_x
\subseteq U_y$ когато $x \in U_y$ следователно $U_x \subseteq \cap \set{U_y\st
y \in X, x \in U_y}$. От друга страна $\cap \set{U_y \st y \in X, x \in U_y}
\subseteq U_x$, защото при $y = x$ имаме $U_y = U_x$. Така $N(x) = U_x$.

Следователно $N(x)$ е отворено за произволно $x \in X$, следователно (от
следващото твърдение) $(X, \tau)$ е Александровско пространство. Следователно
то има най-малка база $B_x = \set{N(x) \st x \in X}$, но това е точно
$\set{U_x\st x \in X} = B$
%%%


\begin{tvyr}\footnote{Това не сме го доказвали, но го използвахме в миналото доказателство}
Едно т.п. $(X, \tau)$ е Александровско т.с.т.к. за всяко $x \in X$ е в сила
$N(x) \in \tau$.
\end{tvyr}
%%%
$\rightarrow)$ Очевидно, тьй като $N(x)$ е сечение на елементи на $\tau$.

$\leftarrow)$ Нека за всяко $x \in X \quad N(x) \in \tau$ и нека $\Ucal =
\set{U_\alpha \st \alpha \in A} \subseteq \tau$ е произволна подфамилия на
$\tau$.
Ще докажем равенството 
$$\cap \Ucal = \cup \set{N(z) \st (\forall \alpha \in A)(z \in U_\alpha)}$$
откъдето следва, че $\cap \Ucal \in \tau$, защото неговото равно е
обединение на под\-фа\-ми\-лия на $\tau$ и следователно е от $\tau$.

Нека $y \in \cap \Ucal$. Тогава за всяко $\alpha \in A$, $y \in
U_\alpha$. И понеже $y \in N(y)$, то $y \in \cup \set{N(z) \st (\forall \alpha
\in A)(z \in U_\alpha)}$.

Нека сега $y \in \cup \set{N(z) \st (\forall \alpha \in A)(z \in U_\alpha)}$.
Тогава $y \in N(z)$ за някое $z$, за което $(\forall \alpha \in \alpha)(z \in
U_\alpha)$. Нека $\alpha \in A$ е произволно.  Тогава $z \in U_\alpha \in \tau$
и следователно $N(z) \subseteq U_\alpha$. Следователно $y \in U_\alpha$ (за
произволно $\alpha \in A$), следователно $y \in \cap \Ucal$.

Следователно $\cap \Ucal = \cup \set{N(z) \st (\forall \alpha \in A)(z
\in U_\alpha)}$.
%%%


\paragraph*{Пример:} Права на Халински (дигитална права).

За всяко $n \in \Zbb$ полагаме $U_n \leftrightharpoons \left\{ 
\begin{array}{l l}
  \set{n} & \quad n=2k\\
  \set{n-1,n,n+1} & \quad n=2k+1\\
\end{array} \right.$

Фамилията $\set{U_n \st n \in \Zbb}$ удовлетворява (BA1) (очевидно) и (BA2):

Нека $x, y \in \Zbb$ и $x \in U_y$.
\begin{enumerate}
\item Ако $y$ е четно, то $U_y = \set{y}$, следователно $x = y$ и $U_x
\subseteq U_y$.
\item Ако $y$ е нечетно
  \begin{enumerate}
  \item Ако $x$ е нечетно, то $x = y$
  \item Ако $x$ е четно, то или $x = y-1$ или $x=y+1$. И в двата случая $U_x
  \subseteq U_y$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

По теоремата тази фамилия поражда топология $\mathcal{K}$ в $\Zbb$ и
$\set{U_n \st n \in \Zbb}$ е нейна най-малка база.