\begin{definition}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. Едно подмножество $F \subseteq X$ се нарича затворено
подмножество на $(X, \tau)$, ако $X \setminus F \in \tau$

С $\Fcal_\tau$ означаваме фамилията от всички затворени подмножества на
$(X, \tau)$.
\end{definition}


\begin{tvyr}
Нека $(X, \tau)$ е т.п. Тогава $\Fcal_\tau$ има следните свойства:
\begin{itemize}
\item{(C1)} $\emptyset, X \in \Fcal_\tau$
\item{(C2)} Ако $F, G \in \Fcal_\tau$, то $F \cup G \in \Fcal_\tau$
\item{(C3)} Ако $\Fcal' \subseteq \Fcal_\tau$, то $\cap
\Fcal' \in \Fcal_\tau$
\end{itemize}
\end{tvyr}
%%%
(C1) е очевидно.

Нека $F, G \in \Fcal_\tau$, тоест $X \setminus F, X \setminus G \in
\tau$. Но $X \setminus (F \cup G) = (X \setminus F) \cap (X \setminus G ) \in \tau$.

Нека $\Fcal' \subseteq \Fcal_\tau$. Тогава $X \setminus \cap
\Fcal' = \cup \set{X \setminus F \st F \in \Fcal'} \in \tau$,
защото $X \setminus F \in \tau$. Следователно $\cap \Fcal' \in
\Fcal_\tau$.
%%%

\begin{theorem}
Нека $X$ е множество и $\Fcal \subseteq \pset(X)$ удовлетворява
(C1), (C2) и (C3).

Тогава $\tau \leftrightharpoons \set{ X \setminus F \st F \in \Fcal}$ е
топология в $X$ и $\Fcal_\tau = \Fcal$. $\tau$ се нарича топология
в $X$ породена от "`фамилията от затворени множества"' $\Fcal$.
\end{theorem}
%%%
Аксиомите (O1)--(03) се показват аналогично на (C1)--(C3) от миналото твърдение.

$\Fcal_\tau = \set { X \setminus U \st U \in \tau} = \set{ F \st F \in
\Fcal} = \Fcal$.
%%%

\paragraph*{Пример:}
Нека $X$ е безкрайно множество. Полагаме $\Fcal = \set{X} \cup \set{F
\subset X \st F \text{ е крайно}}$. Тогава $\Fcal$ удовлетворява
(C1)--(C3).  Породената от него то\-по\-ло\-гия се нарича кофинитна топология
на $X$.


\begin{definition}
Едно т.п. $(X, \tau)$ се нарича $T_1$-пространство ако:
$$(\forall x \in X)(\set{x} \in \Fcal_\tau)$$
\end{definition}

\begin{tvyr}
Всяко $T_2$-пространство $(X, \tau)$ е $T_1$-пространство.
\end{tvyr}
%%%
Нека $x \in X$. Ще докажем, че $X \setminus \set{x}$ е отворено. 

Нека $y \in X \setminus \set{x}$ е произволно. По дефиницията на
$T_2$-про\-странство $(\exists U,V \in \tau)(x \in U, y \in V, U \cap V =
\emptyset)$.  Тогава $x \notin V$, следователно $V \subseteq X \setminus
\set{x}$. Следователно $y \in V \subseteq X \setminus \set{x}$. Следователно
(по твърдение 1) $X \setminus \set{x}$ е отворено.
%%%

\paragraph*{Пример:}
Обратното твърдение не е вярно --- кофинитното пространство $(X, \tau)$ (където
$X$ е безкрайно) е $T_1$-пространство, но не e $T_2$. 

Очевидно пространството е $T_1$, защото за всяко $x \in X, \quad \set{x}$ е
крайно множество, следователно е затворено.

Ще докажем, че в $(X, \tau)$ всеки две (непразни) отворени множества се пресичат
\footnote{Пространства с това свойство се наричат анти-хаусдорфови}.

Нека $U,V \in \tau$ са произволни непразни.  Ако $U = X$ или $V = X$, то
очевидно $U \cap V \neq \emptyset$.  Нека $U, V \neq X$. Тогава $U = X
\setminus F, V = X \setminus G$ за някакви крайни $F, G \subset X$. Тогава $U
\cap V = X \setminus (F \cup G)$, но $X$ е безкрайно, а $F \cup G$ е крайно,
следователно $U \cap V \neq \emptyset$.