\documentclass[draft,english,bulgarian]{article} %\documentclass[english,bulgarian]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,bulgarian]{babel} \usepackage[hyperfootnotes=false,colorlinks=false,pdfborder={0,0,0}]{hyperref} \title{Записки по Компютърна Топология} \author{Борис Грозев} \date{} %\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} \def\st{\ |\ } %close arrows \def\cuparrow{\,\uparrow\!\!} \def\cdownarrow{\,\downarrow\!\!} \def\cUparrow{\,\Uparrow\!\!} \def\cDownarrow{\,\Downarrow\!\!} \newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \def\pset{\mathcal{P}} \def\Acal{\mathcal{A}} \def\Fcal{\mathcal{F}} \def\Lcal{\mathcal{L}} \def\Rcal{\mathcal{R}} \def\Ucal{\mathcal{U}} \def\Xcal{\mathcal{X}} \def\Nbb{\mathbb{N}} \def\Qbb{\mathbb{Q}} \def\Rbb{\mathbb{R}} \def\Zbb{\mathbb{Z}} \newtheorem*{definition}{Дефиниция} \newtheorem{tvyr}{Твърдение} \newtheorem*{tvyrz}{Твърдение} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem*{theoremz}{Теорема} \newtheorem*{lemma}{Лема} \newtheorem*{fact}{Факт} \begin{document} %%%%%%%%%% \maketitle Това са неофициални записки от курса "`Компютърна Топология"' на доц. Димов, воден през летния семестър на 2009/2010 във \href{http://fmi.uni-sofia.bg}{ФМИ} на СУ. Вероятно има неточни неща и грешки. Записките следват материала стриктно, но самия начин на записване се различава от писаното на дъската. Тъй като правя записките по време на курса, съдържанието се изменя. Можете да намерите текуща версия на адрес:\\ \url{http://mustelinae.net/fmi/comp_top/}\\ Тази версия е от \today. Този документ може да се счита притежание на "`public domain"' и не се налагат никакви ограничения относно модифицирането му и раз\-про\-стра\-ня\-ва\-не\-то му в каквато и да е форма. Изходният код можете да намерите на го\-ре\-спо\-ме\-на\-тия адрес в \LaTeX{} формат. \newpage %%%%%%%%%% \section*{Конспект:} \begin{enumerate} \item Множества. Декартови произведения. Релации. Видове релации. Функции. Релации на еквивалентност и разбивания. \item Преднаредени и частично наредени множества (=чнм). Линейно наредени и добре наредени множества. Аксиома за избора. Лема на Куратовски-Цорн. \item Равномощни множества. Теорема на Кантор за мощността на експонентата. Ординални и кардинални числа. Канторово множество. Мощност на реалната права. \item Дефиниция на топологично пространство (=то). Отворени множества и околност на точка. Дискретни и антидискретни топологични пространства. Александровски пространства. Топологиите $\Rcal(P), \Lcal(P)$ и $\Sigma(P)$ (= топология на Скот) на едно чнм $P = (X, \le)$. Права на майкъл \item База на тп. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададена база. Тегло на тп. Теорема на Александров-Урисон за бази (без д-во). Права на Зоргенфрей. Линейно наредени пространства. \item Предбаза на тп. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададена предбаза. Сравнение на топологии. Теорема: фамилията от всички топологии в дадено множество е пълна решетка. Горно-интервална топология, долно-интервална топология и топология на Лоусън в едно чнм. \item Локални бази и базисни системи от околности в тп. Характер на точка в тп и характер на тп. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададена базисна система от околности. Хаусдорфови пространства. Равнина на Немицки. Конструиране на Александровско пространство чрез аксиоматично зададена най-малка база. Топология на Халимски в множеството на целите числа (= дигиталната права) \item Затворени множества. Въвеждане на топология чрез аксиоматично задаване на затворените множества. Кофинитна топология, $T_1$ пространства. \item Затворена обвивка. Въвеждане на топология с помощта на оператор на Чех или оператор на Куратовски. Конструиране на Александровско пространство чрез оператор на затворена обвивка. \item $T_0$ пространства. Специализираща наредба и нейните свойства. Теорема на Александров за специализиращата наредба. Биективно съответствие между частичните наредби в едно множество $X$ и Александровските $T_0$-топологии в $X$. Теорема на Кришнамурти. \item Вътрешност на подмножество на тп - елементарни свойства. Въвеждане на топология чрез аксиоматично зададен оператор за вътрешност. Контур на подмножество на тп. Точки на сгъстяване и изолирани точки. Навсякъде гъсти, когъсти и никъде гъсти подмножества на тп. Гъстота на тп. \item Непрекъснати изображения между тп - основни свойства и характеризации. Топологии, породени от множество от функции - елементарни свойства. Отворени и затворени изображения. Хомеоморфизми. \item Подпространства. Суми и произведения на тп. \item Финитни топологии. Фактор-пространства. Примери: лист на Мьобиус, проективната равнина, бутилката на Клайн. \item Дефиниция на решетка, пълни решетка и dcpo. Първа теорема на Марковски (без д-во). Характеризация на непрекъснатите изображения между dcpo-та, снабдени с топологията на Скот. Топологиите $\Sigma_c(P)$. \item Cpo-та. Теореми на Кнастер-Тарски и Тарски за неподвижните точки на монотонни изображения. Втора теорема на Марковски (без д-во). \item Теорема на Тарски-Канторович за най-малката неподвижна точка на непрекъснато изображение. Области на Скот. Индукционен принцип за неподвижни точки. \item $T_i$-пространства, $i = 3,3.5,4,5,6$. Лема на Урисон и теорема на Титце-Урисон (без д-ва). \item Компактни и локално компактни пространства - основни свойстра. Теорема на Тихонов за произведения на компактни пространства (без д-во). Теорема на Александров за непрекъснатите образи на Канторовото множество (без д-во). Теорема на Пеано (без д-во). \item Свързани пространства - основни свойстра. Компонента на свързаност. Теорема на Жордан (без д-во). Топологична класификация на компактните двумерни повърхнини (без д-во). \item Дигитална топология. Теорема на Халимски (= дигитална теорема на Жордан) и теорема на Розенфелд (без д-во). \end{enumerate} \newpage \section{Множества \dots} \input{sect1} \newpage \section{Наредби \dots} \input{sect2} \newpage \section{Ординални и кардинални числа \dots} \input{sect3} \newpage \section{Дефиниция на т.п. \dots} \input{sect4} \newpage \section{База на тп \dots} \input{sect5} \newpage \section{Предбаза на тп \dots} \input{sect6} \newpage \section{Локални бази и базисни системи от околности \dots} \input{sect7} \newpage \section{Затворени множества \dots} \input{sect8} \newpage \section{Затворена обвивка \dots} \input{sect9} \newpage \section{$T_0$-пространства \dots} %\input{sect10} \newpage \section{Вътрешност \dots} %\input{sect11} \end{document}